基爾霍夫定律(Kirchhoff laws)是電路中電壓和電流所遵循的基本規(guī)律，是分析和計(jì)算較為復(fù)雜電路的基礎(chǔ)，1845年由德國(guó)物理學(xué)家G.R.基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）提出?；鶢柣舴颍娐罚┒砂ɑ鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）。

基爾霍夫（電路）定律既可以用于直流電路的分析，也可以用于交流電路的分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路的分析。

發(fā)現(xiàn)背景

基爾霍夫定律是求解復(fù)雜電路的電學(xué)基本定律。從19世紀(jì)40年代，由于電氣技術(shù)發(fā)展的十分迅速，電路變得愈來(lái)愈復(fù)雜。某些電路呈現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)形狀，并且網(wǎng)絡(luò)中還存在一些由3條或3條以上支路形成的交點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))。這種復(fù)雜電路不是串、并聯(lián)電路的公式所能解決的。

剛從德國(guó)哥尼斯堡大學(xué)畢業(yè)，年僅21歲的基爾霍夫在他的第1篇論文中提出了適用于這種網(wǎng)絡(luò)狀電路計(jì)算的兩個(gè)定律，即著名的基爾霍夫定律。該定律能夠迅速地求解任何復(fù)雜電路，從而成功地解決了這個(gè)阻礙電氣技術(shù)發(fā)展的難題。

由于似穩(wěn)電流(低頻交流電)具有的電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應(yīng)用范圍亦可擴(kuò)展到交流電路之中。

基本概念

1、支路：

（1）每個(gè)元件就是一條支路。

（2）串聯(lián)的元件我們視它為一條支路。

（3）在一條支路中電流處處相等。

2、節(jié)點(diǎn)：

（1）支路與支路的連接點(diǎn)。

（2）兩條以上的支路的連接點(diǎn)。

（3）廣義節(jié)點(diǎn)（任意閉合面）。

3、回路：

（1）閉合的支路。

（2）閉合節(jié)點(diǎn)的集合。

4、網(wǎng)孔：

（1）其內(nèi)部不包含任何支路的回路。

（2）網(wǎng)孔一定是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。

基爾霍夫第一定律（KCL）

定義

基爾霍夫第一定律又稱基爾霍夫電流定律，簡(jiǎn)記為KCL，是電流的連續(xù)性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是電荷守恒公理?；鶢柣舴螂娏鞫墒谴_定電路中任意節(jié)點(diǎn)處各支路電流之間關(guān)系的定律，因此又稱為節(jié)點(diǎn)電流定律。基爾霍夫電流定律表明：

所有進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的電流的總和等于所有離開這節(jié)點(diǎn)的電流的總和。

或者描述為：

假設(shè)進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的電流為正值，離開這節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)值，則所有涉及這節(jié)點(diǎn)的電流的代數(shù)和等于零。

以方程表達(dá)，對(duì)于電路的任意節(jié)點(diǎn)滿足：

其中，是第k個(gè)進(jìn)入或離開這節(jié)點(diǎn)的電流，是流過(guò)與這節(jié)點(diǎn)相連接的第k個(gè)支路的電流，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。

應(yīng)用方法

在列寫節(jié)點(diǎn)電流方程時(shí)，各電流變量前的正、負(fù)號(hào)取決于各電流的參考方向?qū)υ摴?jié)點(diǎn)的關(guān)系（是“流入”還是“流出”）；而各電流值的正、負(fù)則反映了該電流的實(shí)際方向與參考方向的關(guān)系（是相同還是相反）。

通常規(guī)定，對(duì)參考方向指向（流入）節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，而對(duì)參考方向背離（流出）節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)。

KCL定律不僅適用于電路中的節(jié)點(diǎn)，還可以推廣應(yīng)用于電路中的任一不包含電源的假設(shè)的封閉面。即在任一瞬間，通過(guò)電路中任一不包含電源的假設(shè)封閉面的電流代數(shù)和為零。

KCL的推廣所示為某電路中的一部分，選擇封閉面虛線所示，在所選定的參考方向下有：

推導(dǎo)

由于累積的電荷（單位為庫(kù)侖）是電流（單位為安培）與時(shí)間（單位為秒）的乘積，從電荷守恒定律可以推導(dǎo)出這條定律。其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程，即根據(jù)電荷守恒定律，流向節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出節(jié)點(diǎn)的電流之和。

思考電路的某節(jié)點(diǎn)，跟這節(jié)點(diǎn)相連接有個(gè)支路。假設(shè)進(jìn)入這節(jié)點(diǎn)的電流為正值，離開這節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)值，則經(jīng)過(guò)這節(jié)點(diǎn)的總電流等于流過(guò)支路的電流的代數(shù)和：

將這方程積分于時(shí)間，可以得到累積于這節(jié)點(diǎn)的電荷的方程：

其中，是累積于這節(jié)點(diǎn)的總電荷，是流過(guò)支路k的電荷，t是檢驗(yàn)時(shí)間，t'是積分時(shí)間變量。

假設(shè)，q>0則正電荷會(huì)累積于節(jié)點(diǎn)；否則負(fù)電荷會(huì)累積于節(jié)點(diǎn)。根據(jù)電荷守恒定律，q是個(gè)常數(shù)，不能夠隨著時(shí)間演進(jìn)而改變。由于這節(jié)點(diǎn)是個(gè)導(dǎo)體，不能儲(chǔ)存任何電荷。所以，q=0、i=0，基爾霍夫電流定律成立：

基爾霍夫第二定律（KVL）

定義

基爾霍夫第二定律又稱基爾霍夫電壓定律，簡(jiǎn)記為KVL，是電場(chǎng)為位場(chǎng)時(shí)電位的單值性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是能量守恒。基爾霍夫電壓定律是確定電路中任意回路內(nèi)各電壓之間關(guān)系的定律，因此又稱為回路電壓定律。

基爾霍夫電壓定律表明：

沿著閉合回路所有元件兩端的電勢(shì)差（電壓）的代數(shù)和等于零。

或者描述為：

沿著閉合回路的所有電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和等于所有電壓降的代數(shù)和。

以方程表達(dá)，對(duì)于電路的任意閉合回路，

其中，m 是這閉合回路的元件數(shù)目， vk是元件兩端的電壓，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。

基爾霍夫電壓定律不僅應(yīng)用于閉合回路，也可以把它推廣應(yīng)用于回路的部分電路。

應(yīng)用方法

KVL定律是描述電路中組成任一回路上各支路（或各元件）電壓之間的約束關(guān)系，沿選定的回路方向繞行所經(jīng)過(guò)的電路電位的升高之和等于電路電位的下降之和。

應(yīng)用該方程時(shí)，應(yīng)先在回路中選定一個(gè)繞行方向作為參考，則電動(dòng)勢(shì)與電流的正負(fù)號(hào)就可規(guī)定如下：電動(dòng)勢(shì)的方向(由負(fù)極指向正極)與繞行方向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào);同樣，電流的方向與繞行方向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。例如，用此規(guī)定可將回路(如圖2)的基爾霍夫電壓方程寫成：

-E1 E2=-I1R1 I2R2 I3R3-I4R4

每個(gè)閉合回路均可列出一個(gè)方程。如果某回路至少有一個(gè)支路未被其他方程用過(guò)，則稱此回路為獨(dú)立回路。對(duì)于存在M個(gè)獨(dú)立回路的電路，可以列出M個(gè)獨(dú)立的回路電壓方程，它們組成的方程組稱為基爾霍夫第二方程組。

適用范圍

基爾霍夫定律建立在電荷守恒定律、歐姆定律及電壓環(huán)路定理的基礎(chǔ)之上，在穩(wěn)恒電流條件下嚴(yán)格成立。當(dāng)基爾霍夫第一、第二方程組聯(lián)合使用時(shí)，可正確迅速地計(jì)算出電路中各支路的電流值。由于似穩(wěn)電流(低頻交流電)具有的電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應(yīng)用范圍亦可擴(kuò)展到交流電路之中。

它除了可以用于直流電路的分析，和用于似穩(wěn)電路的分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路的分析。運(yùn)用基爾霍夫定律進(jìn)行電路分析時(shí)，僅與電路的連接方式有關(guān)，而與構(gòu)成該電路的元器件具有什么樣的性質(zhì)無(wú)關(guān)。

但用于交流電路的分析是，即對(duì)通過(guò)含時(shí)電流的電路進(jìn)行分析時(shí)，由于通過(guò)閉合回路的磁通量是時(shí)間的函數(shù)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，會(huì)有電動(dòng)勢(shì)E出現(xiàn)于閉合回路。所以，電場(chǎng)沿著閉合回路的線積分不等于零。此時(shí)回路方程應(yīng)寫作：

Σvk = E = - ΔΦ/Δt (磁場(chǎng)正方向與回路正方向相同時(shí))

這是因?yàn)殡娏鲿?huì)將能量傳遞給磁場(chǎng)；反之亦然，磁場(chǎng)亦會(huì)將能量傳遞給電流。

對(duì)于含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由于含時(shí)電流的作用，電路的每一個(gè)電感器都會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)Ek。必需將這電動(dòng)勢(shì)納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。